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提起A-level数学，估计每个出国留学的学生都对它“又爱又恨”

主要是因为它是选课的标配，这和是毋庸置疑的

但是它里面的诸多公式，也着实让诸多学子“吃尽苦头”

复杂的数学公式；抽象的题型，还有课程本身的深度.......

那么今天，我们就先从A-Level基础数学讲解一下。

从知识角度讲，涉及到以下内容：

1. 函数：包括一次函数、二次函数、三次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数。

2. 图像：包括以上所有函数的图像及图像的平移、伸缩、对称及绝对值变换。

3. 微积分：

运算部分：函数的求导，以及符合函数求导、函数的乘积求导、函数的商求导，不定积分、定积分、换元积分、分部积分。

应用部分：利用导函数求切线机法线方程、利用导函数求最值问题、定积分求面积问题。

4. 数列：等差数列、等比数列及其应用。

5. 向量：二维向量、三维向量及其应用。

6. 坐标几何、参数方程、二项式展开式、弧度的应用等。

不难看出，A-Level基础数学和国内高中数学相比在知识的跨度上较大，从国内初中数学知识合并同类项、分母有理化等一直到国内大学的分部积分等知识都有涉及，但A-Level对知识掌握的深度要求较小，比较注重基本概念的掌握和基本运算能力的培养，每年两次考试的难度相当，对同一知识点的考察方式不会有很大变化。考试重应用，轻推导。和国内高考相比，不会出现偏题、怪题、难题。在考查方式上，考试题型单一，全部是简答题，没有填空和选择题，每张卷子10道题目左右，每个题目可能分几个小问题。

每年两次考试，每次考试只考一个单元的知识，学生可在一个考试月里自己选择考几个单元，如要考三个单元，那么在一个考试月里就要参加三次考试。如果觉得某个单元的考试不理想，可以在下个考试月里继续参加该单元的考试，成绩最好的那一次算分。

欧玥老师对Edexcel A-Level基础数学做如下分析：

基础数学是所有学习A-Level课程的中国学生的必选科目。主要原因有三：

一是数学是中国学生普遍最擅长的科目，也是基础教育阶段中国最有优势的科目之一；

二是国外大学的理科、工科、商科专业在录取学生的时候，普遍要求学生提交数学成绩，数学也是将来学生在国外大学学习大部分专业的基础课；

三是相对于其他科目，数学对学生语言能力要求最低（以全球通用的数字、符号图形为主），学生可以相对容易地介入A-Level全英文课程学习，树立信心，为学习其他科目做好准备。

　　WhatisTrigonometry？

　　本文为全英叙述，可以充分引领你了解三角函数的前世今生，来龙去脉。在本文结尾处，附上三张三角函数公式表，帮助你自如地应付A-Level数学考试。

　　Trigonometryisabranchofmathematicsthatstudiesrelationshipsbetweenthesidesandanglesoftriangles.Trigonometryisfoundallthroughoutgeometry,aseverystraight-sidedshapemaybebrokenintoasacollectionoftriangles.

　　Furtherstill,trigonometryhasastoundinglyintricaterelationshipstootherbranchesofmathematics,inparticularcomplexnumbers,infiniteseries,logarithmsandcalculus.

　　Thewordtrigonometryisa16th-centuryLatinderivativefromtheGreekwordsfortriangle(trigōnon)andmeasure(metron).ThoughthefieldemergedinGreeceduringthethirdcenturyB.C.,someofthemostimportantcontributions(suchasthesinefunction)camefromIndiainthefifthcenturyA.D.

　　BecauseearlytrigonometricworksofAncientGreecehavebeenlost,itisnotknownwhetherIndianscholarsdevelopedtrigonometryindependentlyorafterGreekinfluence.AccordingtoVictorKatzin“AHistoryofMathematics3rdEdition)”(Pearson,2008),trigonometrydevelopedprimarilyfromtheneedsofGreekandIndianastronomers.

　　Anexample:Heightofasailboatmast

　　Supposeyouneedtoknowtheheightofasailboatmast,butareunabletoclimbittomeasure.Ifthemastisperpendiculartothedeckandtopofthemastisriggedtothedeck,thenthemast,deckandriggingropeformarighttriangle.

　　Ifweknowhowfartheropeisriggedfromthemast,andtheslantatwhichtheropemeetsthedeck,thenallweneedtodeterminethemast’sheightistrigonometry.

　　Forthisdemonstration,weneedtoexamineacouplewaysofdescribing“slant.”Firstisslope,whichisaratiothatcompareshowmanyunitsalineincreasesvertically(itsrise)comparedtohowmanyunitsitincreaseshorizontally(itsrun).Slopeisthereforecalculatedasrisedividedbyrun.

　　Supposewemeasuretheriggingpointas30feet(9.1meters)fromthebaseofthemast(therun).Bymultiplyingtherunbytheslope,wewouldgettherise—themastheight.Unfortunately,wedon’tknowtheslope.Wecan,however,findtheangleoftheriggingrope,anduseittofindtheslope.

　　Anangleissomeportionofafullcircle,whichisdefinedashaving360degrees.Thisiseasilymeasuredwithaprotractor.Let’ssupposetheanglebetweentheriggingropeandthedeckis71/360ofacircle,or71degrees.

　　Wewanttheslope,butallwehaveistheangle.Whatweneedisarelationshipthatrelatesthetwo.Thisrelationshipisknownasthe“tangentfunction,”writtenastan(x).Thetangentofananglegivesitsslope.Forourdemo,theequationis:tan(71°)=2.90.(We'llexplainhowwegotthatanswerlater.)

　　Thismeanstheslopeofourriggingropeis2.90.Sincetheriggingpointis30feetfromthebaseofthemast,themastmustbe2.90×30feet,or87feettall.(Itworksthesameinthemetricsystem:2.90x9.1meters=26.4meters.)

　　▎Sine,cosineandtangent.

　　Dependingonwhatisknownaboutvarioussidelengthsandanglesofarighttriangle,therearetwoothertrigonometricfunctionsthatmaybemoreuseful:the“sinefunction”writtenassin(x),andthe“cosinefunction”writtenascos(x).

　　Beforeweexplainthosefunctions,someadditionalterminologyisneeded.Sidesandanglesthattoucharedescribedasadjacent.Everysidehastwoadjacentangles.Sidesandanglesthatdon’ttoucharedescribedasopposite.Forarighttriangle,thesideoppositetotherightangleiscalledthehypotenuse(fromGreekfor“stretchingunder”).Thetworemainingsidesarecalledlegs.

　　Usuallyweareinterested(asintheexampleabove)inanangleotherthantherightangle.Whatwecalled“rise”intheaboveexampleistakenaslengthoftheoppositelegtotheangleofinterest;likewise,the“run”istakenasthelengthoftheadjacentleg.Whenappliedtoananglemeasure,thethreetrigonometricfunctionsproducethevariouscombinationsofratiosofsidelengths.

　　▎Inotherwords：

　　◆ThetangentofangleA=thelengthoftheoppositesidedividedbythelengthoftheadjacentside

　　◆ThesineofangleA=thelengthoftheoppositesidedividedbythelengthofthehypotenuse

　　◆ThecosineofangleA=thelengthoftheadjacentsidedividedbythelengthofthehypotenuse

a-level

　　Fromourship-mastexamplebefore,therelationshipbetweenanangleanditstangentcanbedeterminedfromitsgraph,shownbelow.Thegraphsofsineandcosineareincludedaswell.

　　▎下为三张三角函数公式表：

a-level数学